Zoon van Prof. Dan. Mobachius Quaet (ca 1700-1784). Werd in september 1745 aan de Latijnse School te Den Bosch en 19 november 1748 als 13-jarige zonder vermelding van faculteit aan de Hogeschool te Leiden ingeschreven. Tijdens zijn studie te Leiden leverde hij 23 januari 1752 een bijdrage voor het Album amicorum van zijn later collega J.C. Palier (1729-1780), 30 maart 1757 voor dat van J.J. van Drunen (1733-1804), die

Na in 1759 als proponent te zijn toegelaten, werd Mobachius Quaet predikant te Waverveen (Utr.); 20 februari 1763 aanvaardde hij het predikambt te Den Bosch. Toen de oud-hoogleraar in de wijsbegeerte E. de Joncourt in 1765 overleden was, werd 4 september 1765 aan Mobachius Quaet de leerstoel in dat vak toegewezen, maar het salaris van de overledene, dat de stedelijke regering aan diens opvolger had toegedacht, werd bestemd om de hoogleraren D. Noortbergh (1698-1783) en G.A. de Chaufepié (1722-1773) eindelijk voor het door hen sinds lang gegeven onderwijs te honoreren. Hij zou moeten wachten tot de dood van de hoogleraar in de theologie H.G. Clemens (1701-1772) een post op de begroting vrij zou komen, waarvan dan de helft voor zijn salaris zou dienen.

Het hoogleraarschap van Mobachius Quaet heeft slechts vier jaren geduurd. Nadat hij in 1768 een beroep als predikant naar Middelburg had afgewezen, is hij in november 1769, nog bij het leven van zijn vader, als predikant naar Haarlem vertrokken. Wetenschappelijke vruchten heeft zijn werkzaamheid in Den Bosch niet opgeleverd. Omtrent zijn wijsgerige richting is niets bekend.

Mobachius Quaet was 10 mei 1763 te Den Bosch gehuwd met Maria Emilia van Heurn (Den Bosch 1737 - begraven St. Janskerk 7 februari 1766). Zijn enige zoon, Daniël (gedoopt St. Janskerk 19 juni 1765, ingeschreven voor de letteren te Leiden, 29 mei 1783) huwde te Den Bosch 19 oktober 1795 Adriana Hermanna Heshusius (geboren Hindelopen), wonend te Den Bosch; de bruidegom woonde toen te 's-Gravenhage.